●《非完备性：哥德尔的证明和悖论》
去年(2005)是爱因斯坦相对论(狭义)发表100周年，而且4月18日也是爱翁逝世50周年，报刊杂志上纪念文章很多。从这些文章里，读者知道爱因斯坦逃
离纳粹魔掌后，一直在美国普林斯顿高等研究院工作———杨振宁和李政道也是在这里作出了他们后来获得诺贝尔物理奖的成就。不过，国人很少听说过的是，爱翁在高等研究院曾多次对朋友讲：他自己的研究，对他来说已经不是那么重要了，他待在这里的主要原因，是为了享受陪伴哥德尔步行回家的荣幸。
库尔特·哥德尔(Kurt Godel)是证明了谓词演算系统非完备性的伟大数学家。爱因斯坦颠覆了传统时空观；哥德尔的论文，则令数学自欧几里德以来的逻辑基础轰然倒塌。再加上引出了测不准原理并引发新一轮“真实是否可被感觉”的哲学大讨论的海森堡矩阵力学(量子力学的一种表述)，这三大研究成果，被人称为20世纪理论大跃进的三条支柱。
3人之中，爱翁已是公认的世纪伟人。海森堡据说曾为纳粹工作，履历里有政治污点。但是也有人认为，海森堡算出了一个过大的核反应临界质量，纳粹觉得不可能提炼出那么多的铀，因此放弃了他们的原子弹研制计划，海森堡其实是暗中帮助了民主阵营———他那一级别的物理学家，难道真的会算错？
还有这位哥德尔，在去年纪念过爱因斯坦之后，今年或许应该轮到他了，因为今年4月28日，是哥德尔诞辰100周年，今年也是他的非完备性论文发表75周年。
1930年10月7日，在参加于哥尼斯堡(即今日俄罗斯的加里宁格勒，当时是德国领土，第二次世界大战后割让给苏联)举行的一个关于数学基础的国际会议中，哥德尔演示了他的第一非完备性定理。新近出版的哥德尔传记《非完备性：哥德尔的证明和悖论》作者、哲学教授丽贝卡·戈尔茨坦(Rebecca Goldstein)在书中引用在场者的话说：这是“20世纪逻辑史，或许也是整个逻辑史的最重要时刻”。但论文在专业杂志上的正式发表，则要到1931年1月。
这一年哥德尔25岁，比爱因斯坦发现相对论时(26岁)还年轻。这时他刚完成博士论文不久，留在母校维也纳大学任教。
在中学里学习平面几何时，我们就知道，应用“两点间直线最短”等5条公理，再加上“A＝B，B＝C，则A＝C”等推导规则，我们可以从定义出发(比如圆的定义)，得到很多正确判断或曰定理(比如弦切角等于圆周角)。哥德尔证明，这一让数学家舒服度过千年的做法并不永远成立，任一公理系统里，总能找出一些判断，根据这一系统的公理和推导规则，既不能证明其对也不能证明其错。
这一似乎难以理解的数学奇谈，其实源自古希腊人已经讨论过的一个语言悖谬。“我说的是谎话”，这句话，是对还是错？如果是对的，即我总是说谎，那么我这一次却没有说谎；如果是错的，我一向不说谎话，那么我这一次就偏偏说了谎。悖谬之产生，是因为这句话既是单个陈述，又指向更高层次的、我的所有陈述的总体性质；而这一总体性质又往下规定了单个陈述的性质，形成一个头咬尾巴、互相限制的“怪圈”(strange loop)。绕在这个怪圈里，我们无法通过单向逻辑推导来厘清这句话的真或假。
用语言表述语言的总体性质，这不难；但是，当你用语言表述数学性质时，你怎么能够倒过来让这数学性质指向语言本身，从而形成怪圈？哥德尔的天才，就在于设计了一个非常巧妙的形式，解决了这一问题，令全世界的数学家全都佩服得五体投地。
对这一“怪圈”的细节感兴趣的读者，可以参阅道格拉斯·R·霍夫施塔特(Douglas R.Hofstadter)1979年出版的《哥德尔、艾舍尔、巴赫：永恒的黄金编带》。该书曾经畅销一时，并于1980年同时获普利策奖和美国国家图书奖。“走向未来”丛书在1987年出版了该书节译本《GEB：一条永恒的金带》。霍夫施塔特将逻辑“怪圈”与音乐(巴赫)、绘画(艾舍尔)的“怪圈”合在一起平行讲解，读来饶有兴味。特别是荷兰艺术家艾舍尔(Maurits Cornelis Escher)那些有趣的画(例如，一群人似乎始终在往楼上走，但不知不觉地回到楼下的出发点去了)，将“怪圈”表现得非常形象。
希特勒在德国上台并吞并奥地利之后，因有很多犹太朋友而常被错认为犹太人的哥德尔，也像爱因斯坦一样逃到美国；而且也像爱翁一样，来到了普林斯顿高等研究院。当时，哥德尔在数学界的地位，相当于爱翁在物理学界的地位，都是学术之神，哥德尔是研究院里惟一能跟爱翁平起平坐的人。两人的母语都是德语，两人在研究院里，也是最好的朋友，几乎天天一起步行上班(都不愿学开车)，边走边用德语谈天说地。1949年，哥德尔还为爱翁的广义相对论算出了一个特殊解：在一个旋转的宇宙中，我们可以穿越时间，倒回已经逝去的世界，亲眼见到两位科学巨人在那得过最佳建筑奖的普林斯顿历史研究图书馆里微笑交谈的动人景象。可惜测量表明，我们所在的宇宙是各向同性的，不存在一个特定的旋转方向。
哥德尔和爱因斯坦的友谊，埃德·里吉斯(Ed Regis)所著的普林斯顿高等研究院史《谁坐了爱因斯坦的办公室》中有专章叙述。书中记录了哥德尔申请美国国籍的有趣故事。
哥德尔虽是数学奇才，却和许多科学天才一样，社交场合，说话总是不得体。所以爱因斯坦很是“罩”着他。哥德尔的入籍面试，就是爱翁和另一朋友陪去的———哥德尔来往尽鸿儒，这个为两位学术之神开车的朋友，竟是博弈论两名创始人之一的奥斯卡·摩根斯顿(Oskar Morgenstern)。因为要申请美国公民身份，哥德尔仔细阅读了美国宪法，他发现字里行间漏洞不少。一路上爱翁都在讲笑话，要把哥德尔的脑筋从“漏洞”引开。面试时，法官说：你来自一个邪恶专政的国家，幸运的是，这种政权不可能出现在美国。哥德尔忍不住驳斥道：恰恰相反，(根据宪法的漏洞)我发现这是可能发生的。爱翁急忙打圆场，总算说服哥德尔暂时保留他的意见，不再争论。幸好是爱翁作证人，法官还不至于为难哥德尔。
哥德尔在高等研究院工作了22年后，才从访问学者转为正式教授。等待时间之长，不但史无前例，而且史无后例。博弈论的另一名创始人冯·诺依曼(John von Neumann)曾经不平地说：如果哥德尔不能当教授，我们这些人怎么可以当教授？据说，院方迟迟不提他为教授的考虑之一，就是担心在讨论他人教授资格，特别是社会科学研究者的资格时，哥德尔会举着被审议者的论文说：这儿有个漏洞！
这就是哥德尔非完备性定理在语言上的推论(或曰对我们日常概念的影响)：人类语言所能作出的任何定义，都是不完备的，尖脑袋的人一定可以钻出空子来。当年律师们要克林顿就婚外性关系作证，知道这位总统是绕词高手，担心他把“性关系”局限于性交，特意在证词文件中将“性关系”定义得广泛而具体：(1)接触对方任何要害部位；(2)身体任一部位接触对方阴部；(3)阴部接触对方身体任一部位。但是(2)和(3)显然太广泛，涵盖了太多的很可能是无意的行为，法官同意克林顿的意见，把这两条去掉。然后克林顿悍然声称他与莫妮卡·莱温斯基没有性关系———根据(1)的定义，即使莫妮卡接触了克林顿的要害部位，克林顿只要不接触莫妮卡的要害部位，他仍然可以算作与莫妮卡没有性关系(但是换了莫妮卡作证，如果说实话，就得承认她与克林顿有性关系)。想来律师们习惯性地以为，必是男人先出手，没有料到这次居然倒过来。后来的议会弹劾过程中，按(1)的字面意义，无法确定克林顿犯了伪证罪。
所有的法律都是不完备的，法律不是万能的。写条文的人，无法预见也无法囊括形形色色的有关案子。你可以把条文写得冗长复杂，试图包含所有的符合立法原意的可能性；但这也使条文的解释更有歧义，甚至空子更多。因此法律需要道德自律的配合，“道之以德”(见《论语·为政》)———在美国一般是体现在宗教信条中———和以法治国(孔夫子的说法为“道之以政”)，都是民主社会的基本原则。克林顿玩弄词藻的本事令人叹服，字面意义上他可以否认与莫妮卡·莱温斯基有性关系；但在舆论的道德谴责下，他最终被迫道歉，承认自己误导了美国人民。美国宪法或许在语句上有“漏洞”，但是，美国人民已经养成了尊重和服从大法官解释宪法的习惯，200年来，这一宪法却也行之有效，保证了美国民主的延绵有序。哥德尔多虑了。
http://news.hexun.com/1716_1629021A.shtml
